Halaman
Modul Matematika Umum Kelas 11 Tahun 2020Materi Pokok Pembelajaran:TURUNAN FUNGSI ALJABAR Garis sekan, garis normal, garis singgung, turunan, gradien, fungsi u, fungsi v, titik singgung, kalkulus vector.
Modul Matematika UmumKelas XIKD 3.8@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN2TURUNAN FUNGSI ALJABARMATEMATIKA UMUMKELAS XIPENYUSUNYUYUN SRI YUNIARTISMA NEGERI 1 PEDES
Modul Matematika UmumKelas XIKD 3.8@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN3DAFTAR ISIPENYUSUN.............................................................................................................................................2DAFTAR ISI............................................................................................................................................3GLOSARIUM...........................................................................................................................................4PETA KONSEP.......................................................................................................................................5PENDAHULUAN...................................................................................................................................6A. Identitas Modul...........................................................................................................6B. KompetensiDasar.......................................................................................................6C. Deskripsi Singkat Materi............................................................................................6D. Petunjuk Penggunaan Modul......................................................................................7E. Materi Pembelajaran...................................................................................................8KEGIATAN PEMBELAJARAN 1.......................................................................................................9Menemukan Konsep Turunan........................................................................................................9A.Tujuan Pembelajaran..................................................................................................9B.Uraian Materi..............................................................................................................9C.Rangkuman...............................................................................................................13D.Latihan Soal..............................................................................................................14E.Penilaian Diri............................................................................................................19KEGIATAN PEMBELAJARAN 2.....................................................................................................20SIFAT-SIFAT TURUNAN..................................................................................................................20A.Tujuan Pembelajaran................................................................................................20B.Uraian Materi............................................................................................................20C.Rangkuman...............................................................................................................26D.Latihan Soal..............................................................................................................27E.Penilaian Diri............................................................................................................30EVALUASI.............................................................................................................................................31DAFTAR PUSTAKA............................................................................................................................36
Modul Matematika UmumKelas XIKD 3.8@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN4GLOSARIUMGaris Sekan(Secant Line) adalahgarislurus yang ditarik dari dua titik pada suatu kurva.Garis normalmerupakangarisyang melalui titik singgung dan tegak lurus dengangarissinggung.garis singgung(disebut jugagaris tangen)kurvabidang padatitikyang diketahui adalahgaris lurusyang "hanya menyentuh" kurva pada titik tersebut.Turunan:Pengukuranterhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai input, atau secara umum turunan menunjukkan bagaimanasuatu besaran berubah akibat perubahan besaran lainnya. f’(x):Turunan pertama dari fungsif(x)Gradien: (bahasa Inggris:gradient)adalah salah satuoperator dalamkalkulus vektoryang berguna untuk mencari perubahan arah dan kecepatan dalam bidang skalar, atau biasa disebut dengan kemiringan. u(x):Fungsiuv(x):FungsivTitik Singgung: Titik persinggungan antara dua kurva
Modul Matematika UmumKelas XIKD 3.8@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN5PETA KONSEP
Modul Matematika UmumKelas XIKD 3.8@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN6PENDAHULUANA. Identitas ModulMata Pelajaran: Matematika UmumKelas:XIAlokasi Waktu:10 JPJudul Modul:DifferensialB. Kompetensi Dasar3.1Menjelaskan sifat-sifat turunanfungsi aljabar dan menentukan turunan fungsi aljabar menggunakan definisi atau sifat-sifat turunan fungsi4.1Menyelesaikan masalah yangberkaitan dengan turunan fungsi aljabarC. Deskripsi Singkat MateriTurunan adalah pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai yang dimasukan, atau secara umum turunan menunjukkan bagaimana suatu besaran berubah akibat perubahan besaran lainnya. Proses dalam menemukan turunan disebut diferensiasi. Terdapat berbagai pemanfaatan turunan dalam kehidupan sehari-hari, yaitu:➢Salah satu penerapan turunan yang paling umum adalah penentuan nilai maksimum dan minimum. Hal tersebut dapat diamati dengan seberapa sering kita mendengar atau membaca istilah keuntungan terbesar, biaya terkecil, kekuatan terbesar, dan jarak terjauh. Nilai balik maksimum suatu fungsi pada domain f dapat berupa nilai maksimum mutlak atau nilai maksimum relatif. Begitupun dengan nilai minimum, dapat berupa nilai minimum mutlak dan nilai minimum relatif. Jika dalam interval tertentu terdapat dua nilai maksimum atau lebih, nilai maksimum mutlak (absolut) adalah nilai tertinggi sedangkan yang lainnya merupakan nilai maksimum relatif,begitupun sebaliknya. Jika terdapat dua atau lebih nilai minimum pada suatu fungsi, maka titik terendah merupakan nilai minimum mutlak (absolut), sedangkan yang lainnya merupakan nilai minimum relatif.
Modul Matematika UmumKelas XIKD 3.8@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN7➢Turunan dapat digunakan untuk menentukan kecepatan dan percepatan sehingga sering digunakan dalam pekerjaan dan penelitian yang membutuhkan ilmu fisika. Selain itu percepatan juga digunakan dalam menghitung laju percepatan pada kegiatan lempar lembing, lempar cakram, menembak, dan lain –lain. Setiap waktu dan percepatannya mempunyai nilai yang dapat diketahui melalui fungsi turunan.➢Dalam membuat konstruksi bangunan, percampuran bahan bahan bangunan yang di lakukan oleh arsitek, pembuatan tiang –tiang, langit langit, ruangan, dan lain lain menggunakan turunan sehingga bangunan terlihat cantik dan kokoh (optimal). Pembuatan kapal, pesawat, dan kendaraan lainnya menggunakan turunan.➢Kegunaan penurunan,terdapat juga pada quick count. Dalam perhitungan tersebut,terdapat juga perhitungan yang baik sehingga dapat mempunyai perhitungan yang maksimal.Dalam dunia penerbangan, turunan mempunyai fungsi terpenting untuk menentukkan laju pesawat dengan cepat. Pesawat akan mengikuti navigasi dari tower yang berada di bandara. Setiap laju pesawat akan terdeteksi pada navigasi (menggunakan perhitungan kalkulus otomatis) sehingga laju pesawat tidak salah arah dan percepatannya sesuai dengan panduan dari tower.(Brainly.co.id)D. Petunjuk Penggunaan ModulSebelum Ananda membaca isi modul, terlebih dahulu membaca petunjuk khusus dalam penggunaan modul agar memperoleh hasil yang optimal.1.Sebelum memulai menggunakan modul, mari berdoa kepada Tuhan yang Maha Esa agar diberikan kemudahan dalam memahamimateri ini dan dapat mengamalkan dalam kehidupan sehari-hari.2.Sebaiknya Ananda mulai membaca dari pendahuluan, kegiatan pembelajaran, rangkuman, hingga daftar pustaka secara berurutan.3.Setiap akhir kegiatan pembelajaran, Ananda mengerjakan latihan soal dengan jujur tanpa melihat uraian materi.
Modul Matematika UmumKelas XIKD 3.8@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN84.Ananda dikatakan tuntas apabila dalam mengerjakan latihan soal memperoleh nilai ≥75sehingga dapat melanjutkan ke materi selanjutnya.5.Jika Ananda memperoleh nilai <75maka Ananda harus mengulangi materi pada modul ini dan mengerjakan kembali latihan soal yang ada.E.Materi PembelajaranModul ini terbagi menjadi 2kegiatan pembelajarandandi dalamnya terdapat uraian materi, contoh soal, soal latihan dan soal evaluasi.Pertama :Menemukan Konsep Turunan Sebagai Limit FungsiKedua : Turunan Fungsi Aljabar
Modul Matematika UmumKelas XIKD 3.8@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN9KEGIATAN PEMBELAJARAN 1Menemukan Konsep TurunanA.Tujuan PembelajaranPada pembelajaran kali ini, Ananda akan digiring untuk dapat menemukan konsep turunan secara mandiri. Selain itu juga Ananda akan diajak untuk dapat menentukan turunan fungsi aljabar mulai dari yang paling sederhana sampai ke yang kompleks. Namun tidak usah khawatir, dalam modul ini Ananda akan mempelajarinya secara bertahap untuk memungkinkan Ananda dapat mempelajarinya secara mandiri.B.Uraian MateriUntuk menemukan konsep turunan, kita akan mencoba mengamati berbagai permasalahan nyata dan mempelajari beberapa kasus dan contohnya. Kitaakan memulainya dengan menemukan konsep garis tangen atau garis singgung. Sebagai ilustrasi perhatikan berikut: Gambar 1Misalkan seseorang yang sedang bermain papan seluncurbergerak dari titik Q ( x2, y2)dan melayang ke udara pada titik P(x1, y1) sehingga ia bergerak dari titik Q mendekati titik P. Garis yang menghubungkan titik Q(x2 , y2 )dan titik P(x1 , y1) disebut tali busur atau garis sekan dengan kemiringan atau gradien 𝑚=𝑦2−𝑦1𝑥2−𝑥1(Ingat konsep garis lurus).
Modul Matematika UmumKelas XIKD 3.8@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN10Jika ∆x = x2 –x1 maka x2= ∆x + x1(∆x merupakan selisih dari x) dan Jika ∆y = y2–y1makan y2= ∆y + y1Jika ∆x semakin kecil maka Q akan bergerak mendekati P (Jika ∆x ⇾ 0 maka Q ⇾ P).Sehingga gambar grafiknya dapat diilustrasikan sebagai berikut:Gambar 2Jika y = f(x) maka gradien garis sekan PQ adalah:𝑚𝑃𝑄=𝑓(𝑥2)+𝑓(𝑥1)𝑥2−𝑥1=𝑓(𝑥1+∆𝑥)−𝑓(𝑥1)𝑥1+∆𝑥−𝑥1=𝑓(𝑥1+∆𝑥)−𝑓(𝑥1)∆𝑥Dari persamaan tersebut, kita dapat menarik definisi: Misalkan 𝒇∶𝑹→𝑹adalah fungsi kontinu dan titik P (x1, y1) dan 𝑸(𝒙𝟏+∆𝒙,𝒚𝟏+∆𝒚)pada kurva 𝒇. Garis sekan menghubungkan titik 𝑷𝒅𝒂𝒏𝑸dengan gradien 𝒎𝒔𝒆𝒄=𝒇(𝒙𝟏+∆𝒙)−𝒇(𝒙𝟏)∆𝒙Kita kembali ke gambar kedua yuk, Ananda amati kembali bahwa jika titik 𝑄mendekati 𝑃maka ∆x ⇾ 0 sehingga diperoleh garis singgung di titik 𝑃dengan gradien :𝑚𝑃𝐺𝑆=lim∆𝑥→0𝑓(𝑥1+∆𝑥)−𝑓(𝑥1)∆𝑥jika limitnya ada, nahhh ini yang harus Ananda pahami tentang teori limit. Dari perhitungan matematis ini kita dapatkan definisi kedua mengenai gradien garis singgung yaitu sebagai berikut:
Modul Matematika UmumKelas XIKD 3.8@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN11Contoh soal 1:Tentukan gradien garis singgung kurva 𝑓(𝑥)=𝑥2+3𝑥−4di titik ( 2, 6)Jawab : 𝑓(𝑥)=𝑥2+3𝑥−4𝑓(2)=22+3(2)−4=4+6−4=6𝑓(2+∆𝑥)=(2+∆𝑥)2+3(2+∆𝑥)−4=4+4∆𝑥+∆𝑥2+6+3∆𝑥−4=∆𝑥2+7∆𝑥+6Menurut rumus : 𝑚𝑃𝐺𝑆=lim∆𝑥→0𝑓(𝑥1+∆𝑥)−𝑓(𝑥1)∆𝑥𝑚𝑃𝐺𝑆=lim∆𝑥→0𝑓(2+∆𝑥)−𝑓(2)∆𝑥𝑚𝑃𝐺𝑆=lim∆𝑥→0∆𝑥2+7∆𝑥+6−6∆𝑥𝑚𝑃𝐺𝑆=lim∆𝑥→0∆𝑥2+7∆𝑥∆𝑥𝑚𝑃𝐺𝑆=lim∆𝑥→0∆𝑥2∆𝑥+lim∆𝑥→07∆𝑥∆𝑥𝑚𝑃𝐺𝑆=0+7=7Jadi gradien garis singgung kurva 𝑓(𝑥)=𝑥2+3𝑥−4dititik(2,6)sama dengan 7.Bagaimana Ananda? Bisakah Ananda memahami bagaimana mencari gradien atau kemiringan suatu kurva dengan menggunakan konsep secan? Nahhh lanjut ke pelajaran berikutnya yaitu kita akan mengulas kembali persamaan garis singgung yang pernah Ananda pelajari waktu SMP. Ingat kembali bahwa rumus mencari persamaan garis kurva 𝑦=𝑓(𝑥)𝑑𝑖𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘(𝑥1,𝑦1)yaitu :
Modul Matematika UmumKelas XIKD 3.8@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN12Contoh soal 2:Tentukan persamaan garis singgung kurva 𝑦=𝑓(𝑥)=𝑥2+4𝑥𝑑𝑖𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘(−1,−3).Jawab: 𝑓(𝑥)=𝑥2+4𝑥Langkah pertama kita cari dulu 𝑓(−1)=(−1)2+4(−1)=1−4=−3Kemudian cari 𝑓(−1+∆𝑥)=(−1+∆𝑥)2+4(−1+∆𝑥)=(−1)2−2∆𝑥+∆𝑥2−4+4∆𝑥=1−2∆𝑥+∆𝑥2−4+4∆𝑥=∆𝑥2+2∆𝑥−3Maka di dapat :𝑚𝑃𝐺𝑆=lim∆𝑥→0𝑓(−1+∆𝑥)−𝑓(−1)∆𝑥=lim∆𝑥→0∆𝑥2+2∆𝑥−3−(−3)∆𝑥=lim∆𝑥→0∆𝑥2+2∆𝑥−3+3∆𝑥=lim∆𝑥→0∆𝑥2+2∆𝑥∆𝑥=lim∆𝑥→0∆𝑥2∆𝑥+lim∆𝑥→02∆𝑥∆𝑥=0+2=2Didapat gradien kurva tersebut = 2Maka Persamaan garis singgung kurva 𝑦=𝑓(𝑥)=𝑥2+4𝑥𝑑𝑖𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘(−1,−3). Adalah 𝒚−𝒚𝟏=𝒎𝑷𝑮𝑺(𝒙−𝒙𝟏)𝒚−(−𝟑)=𝟐(𝒙−(−𝟏))𝒚+𝟑=𝟐(𝒙+𝟏)𝒚+𝟑=𝟐𝒙+𝟐𝒚=𝟐𝒙+𝟐−𝟑𝒚=𝟐𝒙−𝟏Atau bentuk lainnya𝒚−𝟐𝒙+𝟏=𝟎𝒚−𝒚𝟏=𝒎𝑷𝑮𝑺(𝒙−𝒙𝟏)INGAT INI RUMUS MENCARI PERSAMAAN GARIS SINGGUNG
Modul Matematika UmumKelas XIKD 3.8@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN13C.Rangkumana.Definisi untuk mencari gradien atau kemiringan garis singgung adalahb.Rumus untuk mencari persamaan garis singgung kurva
Modul Matematika UmumKelas XIKD 3.8@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN14D.Latihan SoalKerjakan semua soal di bawah ini di kertas, kemudian cocokkan dengan kunci jawabannya.1)Tentukan gradien garis singgung kurva 𝑦=2𝑥2+3𝑥−5di titik (2, 9)Jawab: m = 112)Gradien garis singgung kurva𝑦=𝑥3−2𝑥di titik ( (1 , -1)Jawab : m = 13)Persamaan garis singgung kurva 𝑦=𝑥2−2𝑥+5di titik ( -1 , 8 ) adalah ...Jawab : 𝑦+4𝑥−4=04)Persamaan garis singgung kurva 𝑦=3𝑥2−5di titik ( -2, 7 ) adalah ...Jawab : 𝑦+12𝑥+17=05)Diketahui garis x + y = a menyinggung parabola 𝑦=−13𝑥2+𝑥+2. Nilai a adalah ....Jawab: a = 5
Modul Matematika UmumKelas XIKD 3.8@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN15PembahasanNomorPembahasanSkoring1PenyelesaianDiketahui kurva 𝑦=2𝑥2+3𝑥−5𝑓(𝑥)=2𝑥2+3𝑥−5𝑓(2)=2(2)2+3(2)−5=8+6−5=9𝑓(2+∆𝑥)=2(2+∆𝑥)2+3(2+∆𝑥)−5=2(4+4∆𝑥+∆𝑥2)+6+3∆𝑥−5=8+8∆𝑥+2∆𝑥2+6+3∆𝑥−5=2∆𝑥2+11∆𝑥+9Menurut rumus : 𝑚𝑃𝐺𝑆=lim∆𝑥→0𝑓(𝑥1+∆𝑥)−𝑓(𝑥1)∆𝑥𝑚𝑃𝐺𝑆=lim∆𝑥→0𝑓(2+∆𝑥)−𝑓(2)∆𝑥𝑚𝑃𝐺𝑆=lim∆𝑥→02∆𝑥2+11∆𝑥+9−9∆𝑥𝑚𝑃𝐺𝑆=lim∆𝑥→02∆𝑥2+11∆𝑥∆𝑥𝑚𝑃𝐺𝑆=lim∆𝑥→02∆𝑥2∆𝑥+lim∆𝑥→011∆𝑥∆𝑥𝑚𝑃𝐺𝑆=0+11=11Jadi gradien garis singgung kurva 𝑓(𝑥)=𝑥2+3𝑥−5dititik(2,9)sama dengan 11.202PenyelesaianDiketahui kurva𝑦=𝑥3−2𝑥dan titik (1, -1)𝑓(𝑥)=𝑥3−2𝑥𝑓(1)=13−2(1)=−1𝑓(1+∆𝑥)=(1+∆𝑥)3−2(∆𝑥)=1+3∆𝑥+3∆𝑥2+∆𝑥3−2∆𝑥=∆𝑥3+3∆𝑥2+∆𝑥−1Menurut rumus : 𝑚𝑃𝐺𝑆=lim∆𝑥→0𝑓(𝑥1+